Яблонски — воспитанник футбольного клуба «Теплице». В основном составе «Теплице» дебютировал 30 мая 2009 года в игра против «Ческе-Будеёвице». В 2010 году был отдан в аренду в клуб «Зенит» из Часлава, а в 2011 — в «Арсенал» из Ческа-Липы.
В сезоне 2011/12 также на правах аренды выступал за «Усти-над-Лабем». За эту команду Яблонски сыграл в 21 матче и забил один гол.
Летом 2012 года футболист вернулся в «Теплице» и стал одним из основных защитников клуба. Всего в сезоне 2012/13 защитник принял участие в 18 матчах чемпионата Чехии. Основным защитником своей команды оставался Яблонски и в следующие два сезона: в сезоне 2013/14 он принял участие в 25 матчах, а в сезоне 2014/15 — в 27 матчах чемпионата Чехии. Кроме того, за это время он забил шесть голов.
В первой половине сезона 2015/16 Давид также являлся основным центральным защитником «Теплице», но зимой отказался продлевать контракт с командой ради летнего перехода в российский футбольный клуб, после чего до окончания контракта был отправлен в аренду в клуб первой лиги «Баник». За команду из Соколова Яблонски отыграл в 12 матчах и забил один гол.
28 мая 2016 года было объявлено, что Яблонски подписал контракт на 2 года с «Томью», днём ранее вышедшей в российскую Премьер-лигу. Дебютировал в составе томского клуба 7 августа 2016 года в матче с «Локомотивом» (2:2). В дебютном матче футболист отметился желтой карточкой.
Олимп-Первенство России по футболу среди команд клубов ФНЛ 2020–2021 годов
28-й тур
Текстильщик
Иваново
1
:1
Томь
Томск
Иваново, стадион "Текстильщик"