Воспитанник футбольного клуба «Хайдук» из Сплита. Профессиональную карьеру начал в 2006 году в футбольном клубе «Задар». За этот клуб Пульич выступал до 2011 года. За это время он провёл в чемпионате Хорватии 124 матча и отметился четырьмя голами.
В 2011 году перешёл в клуб «Локомотива», однако вскоре на правах аренды перебрался в загребское «Динамо». В 2012 году Пульич перешёл в «Динамо» на постоянной основе, но в 2013 году отправился в аренду уже в обратном направлении — в «Локомотиву».
В январе 2014 года покинул чемпионат Хорватии и перешёл в бельгийский «Гент», подписав контракт до 2017 года. В сезоне 2013/14 провёл за «Гент» 14 матчей в чемпионате Бельгии. Сезон 2014/15 Пульич практически полностью пропустил из-за травмы и принял участие лишь в четырёх матчах «Гента».
Перед началом сезона 2015/16 на правах аренды перешёл в «Динамо» Бухарест. За румынскую команду Пульич сыграл в 21 матче.
20 июля 2016 года было объявлено, что Пульич подписал контракт на 2 года с футбольным клубом «Томь», предварительно разорвав соглашение с «Гентом». Дебютировал в составе томского клуба 1 августа 2016 года в матче с «Краснодаром». В матче с ЦСКА получил серьезную травму и выбыл на 8 месяцев. Вернувшись в строй, стал фактически играющим наставником для молодой томской команды. В элитном дивизионе России провел 10 матчей. В Первенстве ФНЛ дебютировал 22 июля в матче с нижегородским «Олимпийцем», а в следующей игре забил свой первый гол в России в ворота команды «Крылья Советов» Самара, ставший победным.
Олимп-Первенство России по футболу среди команд клубов ФНЛ 2020–2021 годов
26-й тур
Нефтехимик
Нижнекамск
2
:0
Томь
Томск
Нижнекамск, стадион "Нефтехимик"